真凸函数

数学の解析学（特に、凸解析）と数理最適化の分野において、真凸函数（しんとつかんすう、英: proper convex function）とは、拡大実数に値を取る凸函数 f で、少なくとも一つの x に対して

${\displaystyle f(x)< \infty }$

が成立し、すべての x に対して

${\displaystyle f(x)>-\infty }$

が成立するもののことを言う。すなわち凸函数が真であるとは、その有効領域が空でなく、値として ${\displaystyle -\infty }$ を取ることがないことを言う。真でない凸函数は広義凸函数（improper convex function）と呼ばれる。

真凹函数とは、${\displaystyle f=-g}$ が真凸函数であるような任意の函数 g のことを言う。

性質

Rⁿ 上のすべての真凸函数 f に対し、ある Rⁿ 内の b と R 内の β が存在して

${\displaystyle f(x)\geq x\cdot b-\beta }$

がすべての x について成立する。

二つの真凸函数の和は必ずしも真あるいは凸ではない。例えば、集合 ${\displaystyle A\subset X}$ と ${\displaystyle B\subset X}$ がベクトル空間 X 内の空でない凸集合であるなら、指示函数 ${\displaystyle I_{A}}$ と ${\displaystyle I_{B}}$ は真凸函数であるが、${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$ であるなら ${\displaystyle I_{A} I_{B}}$ は恒等的に ${\displaystyle \infty }$ に等しい。

二つの真凸函数の最小畳み込みは凸であるが、必ずしも真凸ではない。

参考文献