ハルナックの原理

数学の複素解析の分野におけるハルナックの原理（ハルナックのげんり、英: Harnack's principle）あるいはハルナックの定理とは、調和函数列の収束と密接に関連した原理の一つであり、ハルナックの不等式より従う。

函数 ${\displaystyle u_{1}(z)}$, ${\displaystyle u_{2}(z)}$, ... が複素平面 C のある開連結部分集合 ${\displaystyle G}$ において調和的であり、${\displaystyle G}$ 内のすべての点において

${\displaystyle u_{1}(z)\leq u_{2}(z)\leq ...}$

が成立するなら、極限

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }u_{n}(z)}$

はその領域 ${\displaystyle G}$ のすべての点において無限大であるか、すべての点において有限であるかのいずれかである。それらいずれの場合も、収束は ${\displaystyle G}$ の各コンパクト部分集合について一様である。後者の場合、函数

${\displaystyle u(z)=\lim _{n\to \infty }u_{n}(z)}$

は集合 ${\displaystyle G}$ において調和的となる。

参考文献

• Kamynin, L.I. (2001), “Harnack theorem”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Harnack_theorem 
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